Fonctions de plusieurs variables, M32

1. Notions de topologie dans R^n :
— norme euclidienne, boules, voisinages, ouverts, fermés, adhérence, intérieur ;
— compacité (définition séquentielle), les compacts de R^n sont les fermés bornés.
2. Fonctions de plusieurs variables à valeurs dans R^p :
— limite en un point, opérations algébriques sur les limites, fonction continue, image inverse
d’un ouvert, d’un fermé, opérations algébriques sur les fonctions continues ;
— image d’un compact par une fonction continue, une fonction numérique continue sur un
compact atteint ses bornes ;
— différentielle, dérivées directionnelles, dérivées partielles, relation entre différentielle et
dérivées partielles ;
— fonctions de classe C^1 , matrice jacobienne, différentielle d’une composée ;
— théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques ;
— lignes et surfaces de niveau des fonctions numériques ; droites et plans tangents en un
point régulier, gradient.
3. Extrema des fonctions numériques : fonctions de classe C^2 , lemme de Schwarz, formule de
Taylor à l’ordre 2, position d’une surface par rapport au plan tangent, recherche d’extrema
locaux.