Chapitre I. Intégrales doubles : construction et méthodes de calcul
§1. Intégrale de Riemann : définitions et énoncés de résultats
Parties négligeables et quarrables du plan, classe R des fonctions sur les parties quarrables de R^2, dont le lieu de discontinuité est négligeable, théorème d'existence et d'unicité d'une théorie d'intégration pour la classe R. Méthodes de calcul : théorème de Fubini sur des domaines élémentaires du type de {(x,y)ε ℝ2 : a≤x≤b, φ_1(x) ≤y≤φ_2(x)} ou {(x,y)ε ℝ2 : c≤y≤d, ψ_1(y) ≤x≤ψ_2(y)}, changement de variables dans une intégrale double, utilisation de symétries.
§2. Intégrale de Riemann : construction par les sommes de Riemann
Pavés de R^2, subdivisions et leurs raffinements, sommes intégrales, limites des sommes intégrales lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro. Critère de Lebesgue pour la convergence des sommes de Riemann (admis). Mesure de Jordan. Démonstration de la partie existence du théorème du §1.
§3. Propriétés de parties négligeables
Démonstration des propriétés des parties négligeables énoncées au §1. Une partie quarrable et négligeable a mesure de Jordan nulle.
§4. Sommes de Darboux et intégrales de Darboux
Définitions, critère de Darboux pour la convergence de sommes de Riemann. Partie unicité du théorème du §1.
§5. Démonstration du théorème de Fubini
Chapitre II. Intégrales multiples : exemples et compléments
§1. Intégrales multiples en dimension quelconque
Pavés et subdivisions en dimension n, théorème de Fubini pour le produit de deux pavés, intégrale multiple en dimension n comme superposée de n intégrales simples. Changement de variables en dimension n.
§2. Exemples de calcul
Coordonnées cylindriques et sphérique de R^3, les volumes d'une sphère et d'un cylindre. Coordonnées sphériques dans R^n. Calcul du volume de la boule de rayon R et de dimension n. Le (n-1)-volume de la sphère comme la dérivée du volume de la boule suivant R (sans justification).
§3. Intégrales généralisées
Définition par des épuisements, cohérence (lorsque l'intégrale de Riemann de f existe, l'intégrale généralisée de f est convergente et coïncide avec l'intégrale de Riemann). Pour cette définition, la convergence équivaut la convergence absolue (donc l'intégrale généralisée en une variable n'est pas le cas particulier de celle définie ici pour n=1). Critère de comparaison pour la convergence d'intégrales généralisées (admis). Quelques exemples et contre-exemples.
Chapitre III. Courbes de R^n et intégrales curvilignes
§1. Arcs, chemins, courbes
Définitions, vecteur tangent et droite tangente, exemples de singularités, régularité locale d'un arc, régularité globale. Terminologie : une courbe paramétrée est un synonyme d'un arc paramétré, désignant une application continue γ d'un intervalle I de R dans R^n. Une courbe tout court est le "support géométrique" d'un arc γ, et le support géométrique de γ est un synonyme de l'image de γ. Un chemin est un cas particulier d'un arc lorsque l'intervalle I est fermé. Un arc régulier est un homéomorphisme de I sur γ (I) de classe C^1. Changement de paramètre, équivalence d'arcs, orientation. Théorème d'équivalence d'arcs réguliers de même support géométrique. Contre-exemple sans condition de continuité de γ(I)⟶I (une courbe à 4 orientations).
§2. Circulation d'un champ vectoriel et l'intégrale d'une 1-forme
Définitions d'un chemin C^k par morceaux et régulier par morceaux, chemins simples fermés (lacets, la seule self-intersection est aux extrémités) et simples ouverts (sans self-intersections et aux extrémités disjointes). 1-formes et champs vectoriels sur une courbe et sur un ouvert de R^n. Définition de l'intégrale curviligne d'une 1-forme et son interprétation comme circulation d'un champ vectoriel. Dépendance de l'orientation, l'invariance par les changements de paramétrage de même orientation. Application : travail d'une force, calcul pour le champ newtonien.
Changement de coordonnées par un C^1-difféomorphisme, relèvement (tiré en arrière ou pullback) d'une 1-forme, image directe d'un champ vectoriel, expression de la circulation en coordonnées curvilignes. La longueur d'une courbe. L'abscisse curviligne et les intégrales curvilignes de champs scalaires ; l'indépendance du paramétrage (et de l'orientation). La masse et le centre d'inertie d'une courbe.
§3. Formule de Green-Riemann
Bons domaines, bord orienté, formule de Green Riemann. Démonstration par la décomposition en bons domaines élémentaires. Calcul de l'aire d'un domaine D comme intégrale d'une 1-forme convenable sur le bord ∂D. L'intégrale d'une forme fermée sur ∂D est nulle. Un contre-exemple (une 1-forme fermée ayant un point singulier dans D).
§4. Champs potentiels et 1-forme exactes
Fonctions-potentiels, 1-formes exactes et 1-formes fermées, lemme de Poincaré dans un domaine étoilé. Exemple.