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Chapitre I. Dualité

Formes linéaires et espace dual ; représentation d'une forme linéaire dans une base et changement de base ; les hyperplans — correspondance bijective avec les formes linéaires non nulles modulo la proportionnalité ; base duale et base anté-duale — existence et unicité ; formule de changement de base pour la base duale. L'annulateur (ou l'orthogonal) d'un sous-espace de E ou d'un sous-espace de E* ; l'application transposée. 

Chapitre II. Formes bilinéaires

Formes bilinéaires, la donnée par une matrice et changement de base ; formes symétriques et alternées ; formes quadratiques. Diagonalisation d'une forme quadratique Q par la récurrence sur le nombre de formes linéaires linéairement indépendantes, présentes dans l'expression de Q (méthode de Gauss). Existence de bases Q-orthogonales. Formes positives et définies positives, espace euclidien et produit scalaire. Le noyau et le rang d'une forme quadratique. Classification des formes quadratiques sur C et sur R. Signature. 

L'orthogonal d'une partie de E et d'un sous-espace de E. Vecteurs isotropes, sous-espaces non dégénérés. Projections linéaires, projections orthogonales et symétries orthogonales. Orthogonalisation de Gram-Schmidt, critère de Sylvester.

Chapitre III. Espaces euclidiens

Les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, le cas d'égalité, identité du parallélogramme. La norme et la distance euclidiennes. L'angle entre deux vecteurs. Le k-volume d'un k-parallélépipède.

Exemples d'endomorphismes orthogonaux: symétries, réflexions. Description de SO(n) et O¯(n):=O(n)\SO(n). Le cas de dimension 3 : orientation, produit mixte, produit vectoriel, forme normale des éléments de O(3), l'axe et l'angle d'une rotation.

Endomorphismes adjoints, endomorphismes symétriques. Diagonalisation en base orthonormée. Endomorphismes symétriques positifs ; l'existence et l'unicité d'une racine carrée positive. Relation entre les endomorphismes symétriques et les formes bilinéaires symétriques en présence d'un produit scalaire euclidien. Réduction de coniques affines dans le plan euclidien.

Chapitre IV. Espaces hermitiens

Formes hermitiennes (linéaires en second argument et semi-linéaires en premier argument). Formes positives et définies positives, la donnée par des matrices, changement de base, reconstruction de (x,y) ↦ φ(x,y) à partir de x ↦ φ(x,x), bases orthogonales, l'orthogonal d'un sous-espace, classification des formes hermitiennes, la signature.

Espaces hermitiens, Cauchy-Schwarz, endomorphisme adjoint, endomorphismes unitaires, endomorphismes hermitiens, diagonalisation dans une base orthonormée, décomposition polaire.